Erwartungswert

Der Erwartungswert sollte nicht mit dem arithmetischen Mittel verwechselt werden, hängt aber mit ihm zusammen.

Zum Beispiel erwartet man beim 6-maligen Werfen eines fairen Würfels einmal die Zahl "5" und durchschnittlich die Augenzahl 3,5. Wenn man den Würfel 6-mal wirft, kann die Zahl "5" jedoch 0- bis 6-mal auftreten und die durchschnittliche Augenzahl im Intervall von 1 bis 6 liegen.

Berechnung

Diskrete Zufallsvariablen

Formel

Für eine diskrete Zufallsgröße $\text{X}$ mit Werten $x_1,x_2\dots ,x_n$ und deren Wahrscheinlichkeiten $\text{P}(\text{X}=x_i)$ berechnet man den Erwartungswert, den man normalerweise mit $\text{E}(\text{X})$ oder $\mu$ bezeichnet, wie folgt.

$${\displaystyle \begin{array}{ccl}\text{E}(\text{X})& =& x_1\cdot \text{P}(\text{X}=x_1)+x_2\cdot \text{P}(\text{X}=x_2)+\cdots +x_n\cdot \text{P}(\text{X}=x_n)\\ & =& \sum _{i=1}^n{x}_i\cdot \text{P}(\text{X}=x_i)\end{array}}$$

Der Erwartungswert berechnet sich also als Summe der Produkte von Wert und dessen Wahrscheinlichkeit.

Beispiel

Werfen von zwei Laplace-Würfeln. Die Werte der Zufallsgröße $\text{X}$ sind genau die Summe der Augenzahlen.

$${\displaystyle \begin{array}{cccccccccccc}x& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\\ \text{P}(\text{X}=x)& \frac{1}{36}& \frac{2}{36}& \frac{3}{36}& \frac{4}{36}& \frac{5}{36}& \frac{6}{36}& \frac{5}{36}& \frac{4}{36}& \frac{3}{36}& \frac{2}{36}& \frac{1}{36}\end{array}}$$

Damit ergibt sich für den Erwartungswert für dieses Experiment.

$${\displaystyle \begin{array}{ccl}\text{E}(\text{X})& =& 2\cdot \frac{1}{36}+3\cdot \frac{2}{36}+4\cdot \frac{3}{36}+5\cdot \frac{4}{36}+6\cdot \frac{5}{36}+7\cdot \frac{6}{36}\\ & & +8\cdot \frac{5}{36}+9\cdot \frac{4}{36}+10\cdot \frac{3}{36}+11\cdot \frac{2}{36}+12\cdot \frac{1}{36}\\ & =& 7\end{array}}$$

Dies bedeutet also, dass man beim Werfen von zwei fairen Würfeln im Mittel eine "7" würfelt.

Stetige Zufallsvariablen

Formel

Für eine stetige Zufallsvariable $\text{X}$ mit Werten in $[\text{a},\text{b}]$ und Dichtefunktion $f$ berechnet man den Erwartungswert, den man auch hier mit $\text{E}(\text{X})$ oder $\mu$ bezeichnet, wie folgt.

$${\displaystyle \text{E}(\text{X})=\underset{a}{\overset{b}{\int }}x\cdot f(x)\text{d}x}$$

Der Erwartungswert berechnet sich also als Integral über das Produkt der Ergebnisse und der Dichtefunktion der Verteilung.

Beispiel

Die Verspätung einer U-Bahn sei mit folgender Dichtefunktion ($x$ ist die Minute, in der die U-Bahn eintrifft) gegeben

$f(x)=\{\begin{array}{ccc}\mathrm{0,8}-\mathrm{0,32}x& \text{ für }& 0\le x\le \mathrm{2,5}\\ 0& \text{ für }& \text{sonst}\end{array}$

Daraus ergibt sich für den Erwartungswert dieses Experimentes

$${\displaystyle \text{E}(\text{X})=\underset{0}{\overset{\mathrm{2,5}}{\int }}x\cdot f(x)\text{d}x=\underset{0}{\overset{\mathrm{2,5}}{\int }}x\cdot (\mathrm{0,8}-\mathrm{0,32}x)\text{d}x=\mathrm{0,8}\overline{3}}$$

Das bedeutet, die U-Bahn hat im Schnitt $\mathrm{0,8}\overline{3}$ Minuten, das sind $50$ Sekunden, Verspätung.

Rechenregeln

Wichtige Erwartungswerte

Beispielaufgabe